En la deducción de expresiones para las resultantes de tensión, que es, la resultante de fuerzas y mementos representando tensiones internas, consideramos un elemento infinitesimal. Este elemento es definido por dos pares de planos, normal a la superficie media de la cáscara. El origen de un sistema de coordenadas cartesianas es localizado en una esquina del elemento, como se muestra, con los ejes x y y tangente a las líneas de curvatura principal, y z perpendicular a la superficie media.
Componente infinitesimal de una cáscara
En la curvatura de cáscara, la longitud de cara de un elemento localizado a una distancia z de la superficie media no son simplemente dsx y dsy, la longitud medida sobre la superficie media, será mejor
Donde rx y ry son los radios de las curvaturas principales en los planos xz y yz, respectivamente.
Las tensiones actuando sobre el plano de una cara de un elemento son σx, σy, τxy, τxz y τyz.
Asignando Nx representando la resultante de la fuerza normal actuando sobre el plano de cara yz por unidad de longitud, y usando la verdadera longitud de cara dado arriba tenemos
Cancelando las longitudes dsy, esto se vuelve.
Expresiones para el efecto de las tensiones resultantes por unidad de longitud son deducidas en una manera similar. Los esfuerzos mostrados en la Figura son
La convención de signos es la misma que en el tratamiento de placas. Podemos concluir que aunque son igual τxy = τyx , las fuerzas cortantes Nxy y Nyx no son generalmente iguales, ni los momentos torsores Mxy y Myx. Esto es porque en general r x ≠ r y, para cáscaras delgadas, sin embargo para el cual nosotros hacemos que t es relativamente pequeño con respecto a rx y ry, consecuentemente, z / r x y z / r y pueden ser despreciados con relación a la unidad. Sobre esta base, Nxy = Nyx y Mxy = Myx . Las tensiones resultantes son descritas por la misma expresión como se muestra en placas delgadas.
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