CÁLCULO DE COORDENADAS GEODÉSICAS

Una vez hechas las correcciones y compensaciones precisas se llega a conocer los lados y ángulos de cada triangulo de la red sobre el elipsoide. Con ellos se inicia el cálculo de las coordenadas geodésicas de los vértices. Partiendo de un punto fundamental, llamado datum, en el cual se determinan por métodos astronómicos las coordenadas iniciales λ, ϕ y un acimut z, a partir de las cuales se calculan sobre el elipsoide de referencia, con los valores compensados, las coordenadas de los vértices sucesivos de la red.
El elipsoide adoptado actualmente es internacional de Hayford, con Datum Postdam.
Está definido por su parámetro a y α (aplanamiento), y con la condición de ser tangente al geoide en dicho punto astronómico fundamental, además de tener su eje de revolución paralelo al del polar PP'.
El problema del cálculo de coordenadas se basa, por tanto, que a partir de las coordenadas de un punto A (λA, ϕ A), se tiene que obtener las correspondientes a u segundo punto B (λB, ϕ B).

Figura. Coordenadas geodésicas
Aunque la resolución rigurosa del cálculo del triángulo elipsóidico ΔPAB, que sirve para obtener las coordenadas del punto B, la obtuvo Jacobi utilizando las propiedades de la línea geodésica, y también lo resolvió Legendre por desarrollos en serie muy complejos, al igual que en otros capítulos anteriores se verá como se ha simplificado en la práctica este problema.
Para ello se desdobla en fases sucesivas utilizadas las llamadas esferas auxiliares.

Figura. Esferas auxiliares
Primera fase
Calculo de x, en la esfera de radio
R M = (N M ρM) ^0.5
O esfera de curvatura media, siendo M ϕ la media de dos latitudes
ϕ M = (ϕ o + ϕ')/2
Y aplicando del teorema de Legendre al triangulo Q0Q'Q1 para resolverla como plano. (El valor de ϕ' se obtendría de cálculo aproximado).
Segunda fase
Cálculo de arco ω de elipse meridiano ω = Q1 C' con ayuda de la esfera de la radio N1, tangente al paralelo de latitud ϕ1, aplicando el desarrollo de Lagrange al triángulo P1Q'Q1. Esta esfera puede utilizarse, ya que el dato buscado ω es de segundo orden de pequeñez. Con las dos esferas citadas, la de curvatura media y está cuyo radio es N1, se tiene resuelto el problema de la latitud.
Tercera fase
Cálculo de la diferencia de longitud Δλ. Se emplea la esfera de radio N', tangente al paralelo de latitud ϕ'. La diferencia de latitud en el elipsoide y en la esfera de la misma, lo buscado es el rectilíneo del diedro formado por los dos meridianos.
Cuarta fase
Cálculo de la convergencia de meridiano de la esfera de Jacobi (radio α). Este fue uno de los caminos utilizados en varias redes mundiales (aunque con algunas variaciones que luego se indicara al hablar de los parámetros PQR), que aunque era lento y laborioso, en la cantidad, con ayuda de los modernos ordenadores, podría utilizarse nuevamente, dada la precisión que se obtenía con él. Tanto una formula como otras, llegan a precisiones que son suficientes en Geodesia de primer orden.
Después de estudiar este problema directo en el cálculo siguiente, se analizara en el inverso en el que, del conocimiento de las coordenadas de dos vértices, interesa calcular la longitud de la geodésica que los une y los acimuts directo e inverso entre ambos.

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