Líneas de influencia cualitativas

En 1886, Heinrich Müller-Breslau desarrolló un procedimiento para construir rápidamente la forma de una línea de influencia. A este principio se le llama principio de Müller-Breslau y establece que la línea de influencia para una función ( ya sea reacción, fuerza cortante o momento) es, a la misma escala la forma deflexionada de la viga cuando sobre ésta actúa la función. Para dibujar la forma deflexionada apropiadamente, la capacidad de la viga para resistir la función aplicada debe retirarse de manera que la viga pueda deflexionarse cuando se aplica la función.

Por ejemplo, considere la viga en la figura a. Si va a determinarse la línea de influencia, para la reacción vertical en A, el pasador se reemplaza primero por un rodillo guiado, como se muestra en la figura b. Se requiere un rodillo guiado ya que la viga debe

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Aún resistir una fuerza horizontal en A pero ninguna fuerza vertical. Cuando se aplica entonces la fuerza positiva (hacia arriba) debido a la reacción RA en A, la viga asume la posición indicada por la línea segmentada[1], que representa la forma general de la línea de influencia para A , figura c.

Si va a determinarse la forma de la línea de influencia para la fuerza cortante en C, figura a, la conexión en C puede simbolizarse por un rodillo guiado como se muestra en la figura b. Este dispositivo resistirá un momento y una fuerza axial pero ninguna fuerza cortante. Si aplicamos una fuerza cortante positiva VC a la viga en C y permitimos que la viga asuma la posición indicada por la línea segmentada, encontramos la forma de la línea de influencia que se muestra en la figura c.

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Finalmente, si va a determinarse la forma de la línea de influencia para el momento flexor en C, figura a, se coloca un pasador o articulación interna en C, ya que esta conexión resiste fuerzas axiales y cortantes pero no puede resistir un momento, figura b. Aplicando momentos positivos MC a la viga, ésta sufrirá deflexión según la línea segmentada, que es la forma de la línea de influencia, figura c.

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La prueba del principio de Müller-Breslau se puede establecer usan­do el principio del trabajo virtual. Hay que recordar que trabajo es el produc­to de un desplazamiento lineal y una fuerza en la dirección del desplaza­miento lineal o bien un desplazamiento rotacional y un momento en la dirección del desplazamiento rotacional. Si un cuerpo rígido (viga) está en equilibrio, la fuerza y el momento resultantes sobre ella son iguales a cero. En consecuencia se puede observar que si al cuerpo se le da un desplazamiento virtual o imaginario, el trabajo hecho por todas las fuerzas y momentos con­centrados que actúan sobre él debe también ser igual a cero. Considerando esto, por ejemplo, en la viga simplemente apoyada que se muestra en la figura a, la cual esta sometida a la acción de una carga unitaria en un punto arbitrario a lo largo de su longitud. Si a la viga se le da un desplazamiento virtual (o imaginario) dy en el soporte A, figura b, entonces sólo la reac­ción RA en el soporte y la carga unitaria efectúan un trabajo virtual.

Específicamente, RA efectúa trabajo positivo; RA x dy y la carga unitaria efectúa trabajo negativo; -1 x dy’. (El soporte en B no se mueve y por tanto la fuerza en B no trabaja.) Como la viga está en equilibrio y en realidad no se mueve, el trabajo virtual suma cero, esto es,

RA x dy – 1 x dy' = 0

Note que si dy se hace igual a 1, entonces,

RA = dy'

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En otras palabras, el valor numérico de la reacción en A es equiva­lente al desplazamiento en la posición de la carga unitaria de manera que la forma de la línea de influencia para la reacción en A ha sido establecida (véase la figura). Esto prueba el principio de Müller-Breslau para reacciones.

De la misma manera, si la viga se secciona en C, y la viga sufre un desplazamiento virtual dy en este punto, figura c, tal que los segmentos AC y BC permanecen paralelos, entonces sólo trabajarán la fuerza cortante interna en C y la carga unitaria. Así, la ecuación del trabajo virtual es:

VC x dy – 1 x dy' = O

Nuevamente, si dy se hace igual a 1, entonces;

VC = dy '

y la forma de la línea de influencia para la fuerza cortante en C ha sido establecida (véase la figura).

Finalmente, suponga que una articulación o un pasador se inserta en el punto C de la viga, figura d. Si se le da al pasador una rotación virtual df , sólo efectuarán un trabajo virtual el momento interno MC y la carga unitaria. Así,

MC x df - 1 x dy' = O

Haciendo df = 1, se ve que

mC = dy'

lo que indica que la viga deflexionada tiene la misma forma que la línea de influencia para el momento interno en el punto C (vea la fi­gura).

Es obvio que el principio de Müller-Breslau proporciona un méto­do rápido para establecer la forma de la línea de influencia. Una vez conocida ésta, las ordenadas de los máximos pueden determinarse usando el método básico analizado anteriormente. Además, cono­ciendo la forma general de la línea de influencia, es posible situar la carga viva sobre la viga y luego determinar el valor máximo de la fun­ción usando la estática.

[1] Se representaran las posiciones deflexionadas a una escala exagerada para una mejor ilustración.

Líneas de influencia cualitativas Rating: 4.5 Diposkan Oleh: Ing. Civil

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