Líneas de influencia de las reacciones en una viga

Vea­mos la manera de construir las lí­neas de influencia de las reaccio­nes en los apoyos derecho o iz­quierdo de una viga simplemente apoyada AB que se representa en la figura a. Se coloca la carga uni­dad a una distancia x del apoyo A de la izquierda. Tomando momentos respecto al punto B, la reacción en el apoyo izquierdo será:

R_A = (L — x) / L

y tomando momen­tos respecto al punto A, la reacción en el apoyo derecho será:

R_B = x / L ,

Para trazar la línea de influencia de la reacción en el apoyo izquierdo A, se toma sobre la ordenada que pasa por el punto donde está aplicada la carga unidad P a una distancia x del punto A, el valor de:

Puesto que y es una función lineal de x y la expresión anterior puede aplicarse entre x = 0 y x = L, únicamente será necesario calcular los valores de y para x = 0 y x = L. La línea de influencia de R_A se obtie­ne, trazando la recta que une los extremos superiores de las ordenadas en los puntos A y B.

Así,

Para x = 0,

R_A = 1

Para x = L,

R_A = 0

La línea de influencia de la reacción izquierda A está represen­tada por A₁ A₂ B₁ en la figura b.

Análogamente la línea de influencia de la reacción derecha es la A₁ B₂ B₁ representada en la figura c.

La ordenada en A es

y = x / L ; para x = 0 –> y = 0 / L = 0 –> R_B = 0

y la ordenada en B es

y = x / L ; para x = L –> y = L / L = 1 –> R_B = 1

Entonces se puede decir que para las cargas puntuales concentradas P₁ y P₂ (no representadas), aplicadas en los puntos 1 y 2 respectivamente y de forma simultanea en la figura a, la reacción en el apoyo izquierdo sería:

R_A = P₁ y₁ + P₂ y₂

Esto se explica teniendo en cuenta que si al aplicar la carga unidad en el punto 1 resulta una reacción y₁ en el apoyo izquierdo cuando la carga aplicada en dicho punto sea P₁ , la reacción en este apoyo será P₁ y₁ . Aná­logamente, la reacción en el apoyo izquierdo cuando se aplique en el punto 2 una carga P₂ será P₂ y₂ .

La reacción en el apoyo izquierdo debida a las cargas P₁ y P₂ será, por tanto,

R_A = P₁ y₁ + P₂ y₂

Las líneas de influencia anteriores pueden también utilizarse para calcular las reacciones debidas a una carga uniforme. Supongamos una carga uniforme de w kilogramos por metro lineal (no representada) aplicada entre los puntos 1 y 2 sobre la viga que muestra la figura a. La reacción en A, debido a la carga wdx será dR_A = ywdx , en la que,

y = (L — x) / L

Así, pues, se tendrá:

Obsérvese que es el área determinada por la línea de influencia entre las ordenadas y₁ e y₂ . Por tanto, la reacción en el apoyo iz­quierdo puede obtenerse multiplicando el área determinada por la línea de influencia cubierta por la carga uniforme, por el valor de la intensi­dad de dicha carga.