MÉTODOS ENERGÉTICOS - Energía Específica de Deformación

Considerando el ejemplo de una barra con carga axial mostrado en la figura 2, se tiene que el esfuerzo normal es:

σ = P/ A

Y la deformación unitaria

ε = δ/ L

Despejando valores de las ecuaciones, y sustituyendo en la ecuación

U=1/2 σ ε A L

Donde A L representa un volumen que se puede considerar unitario, obteniéndose la llamada "energía especifica de deformación" Uu, es decir la energía de deformación almacenada en la unidad de volumen

Uu =σ ε

Esta energía específica de deformación indicada en la ecuación (2.3-4) es la debida al esfuerzo normal.

Para el caso del esfuerzo cortante considérese una unidad de volumen como se muestra en la figura 2.3-1 y un corte paralelo al plano xy como se muestra en la figura 2.

Figura 1. Unidad de Volumen

Figura 2. Elemento sujeto a fuerza cortante

Se tiene

τ = P/ Δx Δz

y

γ =δ/ Δy

Despejando P y δ de las ecuaciones, y reemplazando en la ecuación

U = ½ τ γ Δ x Δ y Δ z

es decir

Uu =1/2 τ γ

Figura 3 Elemento sujeto al caso general de esfuerzos.

En el caso general de esfuerzos normales y tangenciales que se indica en la figura 3, la energía específica de deformación por aplicación gradual de la carga es:

U =1/2 (σx εx + σy εy + σz εz + τxy γxy + τxz γzx + τyz γyz)

Donde εx, εy y εz son las deformaciones unitarias en dirección de los ejes respectivos y γxy, γxz y γyz son las deformaciones angulares en dirección de los planos coordenados

indicados con los subíndices.

Obsérvese que por la condición de equilibrio:

τxy = τyx', τxz = τzx', τyz = τzy

La ecuación se obtuvo considerando independientemente los efectos de los esfuerzos normal y cortante, y sumándolos posteriormente, basándose en el principio de la superposición de causas y efectos.

Este principio es de uso frecuente en el análisis estructural y es aplicable a materiales linealmente elásticos, permitiéndose el análisis de efectos separadamente, siendo la suma de ellos el efecto del sistema total. En lo que sigue, se supone que se cumple siempre el requisito de elasticidad lineal y entonces se aplica el principio de superposición.

La energía de deformación total se obtiene integrando la ecuación (2.3-9) en todo el volumen del cuerpo

U=∫∫v∫Uu dV