Teorema de Betti

Enunciado: El trabajo de las fuerzas de un sistema debido a los desplazamientos que en sus puntos de aplicación le produce otro sistema de carga es igual al trabajo de las fuerzas del segundo sistema debido a la aplicación del primer sistema de fuerzas.

Considérese un cuerpo elástico en equilibrio al que se aplican dos sistemas de carga A y B, como se indica en las figuras 1 y 2, respectivamente.

Cada uno de los sistemas de carga se encuentra en equilibrio independientemente, al igual que su aplicación simultánea, y se calcula la energía de deformación debido a la aplicación sucesiva de dichos sistemas de carga, aplicados gradualmente.

Si se aplica primero el sistema A y después el sistema B, se tiene

U = ½ Piδi + ½ Fjδj + PiΔij

Donde los índices repetidos indican suma,* correspondiendo los desplazamientos δi a las fuerzas Pi y los δj a las fuerzas Fj, respectivamente, indicando Δ ij los desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas Pi debido a la aplicación del sistema Fj.

*La notación simplificada de la ecuación corresponde al cálculo de:

Figura 1 Sistema A, aplicando gradualmente las fuerzas Pi

Figura 2 Sistema B, aplicando gradualmente las fuerzas Fj

El último término de la ecuación representa el trabajo del primer sistema de fuerzas debido a los desplazamientos que le causa la aplicación del segundo sistema de cargas. Con el término de fuerzas se indican fuerzas concentradas y momentos y el término desplazamientos se aplica a desplazamientos lineales y angulares.

De manera semejante, si se aplica primero el sistema B y después el sistema A, se obtiene:

U = ½ Fj δj + ½ Piδi + FjΔji

Las ecuaciones son iguales ya que representan la misma energía de deformación, debido a que no dependen del orden de aplicación de los sistemas de carga.

Igualando las ecuaciones se obtiene:

Pi Δij = Fj Δji que es el Teorema de Betti