Teoremas de Castigliano

En el año 1870, el ingeniero ferroviario italiano Alberto Castigliano publicó en dos partes su trabajo sobre la variación de la energía de deformación de los sistemas elásticos. Las partes I y II de su trabajo se conocen frecuentemente como primer y segundo teorema de Castigliano respectivamente.

Primer Teorema de Castigliano:

Enunciado: Si se aplica un conjunto de cargas sobre una estructura linealmente elástica y la energía de deformación U se expresa como una función de los desplazamientos en los puntos de aplicación de las cargas y actúa en sus direcciones, la derivada parcial de U con respecto a uno de estos desplazamientos δi es igual a la carga (esfuerzo) correspondiente P .

∂U / ∂δi = Pi    (2.7-1)

La ecuación (2.7-1) se conoce como el primer Teorema de Castigliano cuando sevaplica a fuerzas concentradas y desplazamientos lineales.

Segundo Teorema de Castigliano

Enunciado: La derivada parcial de la energía de deformación con respecto a unavfuerza que actúa en un cuerpo es igual al desplazamiento del punto de aplicación de lavfuerza en la dirección de dicha fuerza.

Considérese un cuerpo elástico sujeto a la acción de un sistema de fuerzas, comovse muestra en la figura 1. El trabajo o energía de deformación esta en función de la fuerzas es decir,

W =U =U (Pi) (2.7-2)

Si esta función se supone diferenciable

ΔU=∂U/∂Pi ΔPi + α ΔPi (2.7-3)

donde α tiende a cero cuando ΔPi tiende a cero y recíprocamente.

Supóngase que se aplica primero el sistema ΔPi, y después el sistema Pi, obteniéndose:

Dividiendo ambos miembros entre ΔPi y tomando límites cuando ΔPi tiende a cero, se obtiene finalmente que

∂U / ∂Pi =δi (2.7-8)

Similarmente la derivada parcial de la energía de deformación con respecto a un momento que actúa en un cuerpo es igual a la rotación del punto de aplicación del momento en la dirección de dicho momento lo que se expresa con:

∂U / ∂Mi =θ (2.7-9)

Las ecuaciones (2.7-8) y (2.7-9) corresponden al caso particular representado por el diagrama de la energía de deformación caso lineal figura 2.1-4, es decir, cuando la energía de deformación es una expresión cuadrática en los desplazamientos como se presentan en la ecuación (2.1-4). Si la ecuación (2.1-5) se expresa solo en función de P, sustituyendo en ella la ecuación (2.1-1), y se deriva con respecto a P se obtiene la ecuación (2.7-8).

El Teorema de Castigliano generalizado se refiere a la energía complementaria de deformación y se deriva con respecto a P en la ecuación (2.2-1), obteniendo la ecuación *

∂C / ∂Pi =δ (2.7-10)

La ecuación (2.7-10) se conoce también como el verdadero teorema de Castigliano. La derivación presentada de los Teoremas de Castigliano se ha efectuado entonces para el caso particular en que la energía de deformación complementaria es igual a la energía de deformación C = U, debido a que se trata estructuras linealmente elásticas, que es la hipótesis usual en la mayoría de los casos. Para condiciones distintas se deberá hacer uso de la ecuación (2.7-10).

* La derivación de la integral (2.2-1) se efectúa aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo Diferencial e Integral, que establece que la derivada de una integral con respecto a la variable de integración es igual al integrando, para funciones continuas (consúltese cualquier libro sobre Cálculo Diferencial e Integral).