Método de análisis de los desplazamientos

Distribución de momentos. Método de Cross.

El siguiente procedimiento proporciona un método general para de­terminar los momentos extremos sobre claros de vigas usando la dis­tribución de momentos.

Factores de distribución y momentos de empotramiento

Los nudos o nodos sobre la viga deben identificarse y los factores de rigi­dez de cada claro en los nudos deben calcularse. Con el uso de esos valores, los factores de distribución pueden determinarse con la ecuación (DF = K/∑ K). Recuerde que DF = O para un empotramiento y que DF = 1 para un extremo articulado o soportado por un rodillo.

Los momentos de empotramiento para cada claro cargado se calculan mediante la tabla de las páginas suplementarias al final del li­bro. Los momentos de empotramiento positivos actúan en el sentido de las manecillas del reloj sobre el claro, y los negativos en sentido con­trario a las manecillas del reloj. Por conveniencia, esos valores pue­den registrarse en forma tabular, similar a la mostrada anteriormente.

Proceso de distribución de momentos

Suponga que todos los nudos, a los que están conectados miembros cuyos momentos deben determinarse, están inicialmente empotrados. Entonces:

1. Determine el momento necesario para equilibrar cada nudo (mo­mento de desequilibrio)
2. Suelte los nudos y distribuya los momentos de desequilibrio (con sig­no negativo) en cada claro conectado a los nudos
3. Transporte esos momentos en cada claro hacia su otro extremo, mul­tiplicando cada momento por el factor de transporte que es igual a + ½

Al repetir este ciclo de soltar y empotrar los nudos, se encontrará que las correcciones a los momentos serán cada vez más pequeñas ya que la viga tiende a adquirir su forma deflexionada final. Cuando se obtiene un valor de corrección suficientemente pequeño, el proceso cíclico debe detenerse sin transportar los últimos momentos genera­dos. Se suma entonces cada columna de momentos de empotramiento, de momentos distribuidos y de momentos Transportados. Si esto se hace correctamente, se tendrá el equilibrio por momento en los nudos.

Ejemplo

Determine los momentos internos en cada soporte de la viga mostrada en la figura, EI es constante.

Solución

Primero deben calcularse los factores de rigidez de cada barra:

En este caso se utilizara  la rigidez relativa para barras biempotradas (k=I/L)

Kab= I/12       Kbc=I/12        Kcd=I/8

Luego se procederá a calcular los factores de distribución (DF= K/∑ K)

DFab = DFdc = 0

DFba = DFbc = (I/12)/(I/12+I/12) = 0.5

DFcb = (I/12)/(I/12+I/8) = 0.4

DFcd = (I/8)/(I/8+I/12) = 0.6

Posteriormente se realizara el cálculo de los Empotramientos (FEM’s):

FEMab = FEMba = 0

FEMbc= -20*12*12  /  12 = -240 Kn*m

FEMcb=  20*12*12  /  12 = 240 Kn*m

FEMcd = – 250 *8  /  8 = -250 Kn*m

FEMdc= 250 * 8  /  8  = 250 Kn*m

Posteriormente Se  Realizara El armado de la tabla para las iteraciones respectivas:

Nudos	A		B		C	D
DF	0	0.5	0.5	0.4	0.6	0
FEM	0	0	-240	240	-250	250
1RA DIST	0	120	120	4	6	0
TRANS	60	0	2	60	0	3
2DA DIST	0	-1	-1	-24	-36	0
TRANS	-0.5	0	-12	-0.5	0	-18
3RA DIST	0	6	6	0.2	0.3	0
TRANS	3	0	0.1	3	0	0.2
4TADIST	0	-0.05	-0.05	-1.2	-1.8	0
TRANS	-0.025	0	-0.6	-0.025	0	-0.9
5TA DIST	0	0.3	0.3	0.01	0.01	0
	62.5	125.3	-125.3	281.5	-281.5	234.3

Teniendo los momentos en los nudos, se puede realizar el cálculo de las demás incógnitas y el posterior trazado de los diagramas de esfuerzos.