Teorema de Legendre

Considerando un triángulo esférico de lados abc situado sobre una esfera de radio R (Fig. a).

Figura b Triangulo plano

Figura a Triangulo Esférico

Luego de simplificaciones se llega a:

Por otra parte en el triangulo plano

por tanto de la ecuación se tiene;

la diferencia quedara

sumando,

Este teorema de Legendre, que se enuncia como sigue: puede reemplazarse el calculo de un triangulo geodésico situado sobre la esfera de curvatura media de radio

por el calculo de un triangulo plano cuyos lados sean los del esférico, y cuyos ángulos sean los de aquel disminuidos en la tercera parte del exceso esférico. Como se llega en los desarrollos hasta el cuarto orden, significa esto, que el error absoluto cometido en cada uno de los lados es cantidad de quinto orden.