INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Reseña histórica

En los siglos XVII y XVIII, grandes matemáticos como Newton, Leibnitz, Bernouilli y, sobre todo, Lagrange, que tanto habían contribuido al desarrollo del cálculo infinitesimal, se ocuparon de obtener máximos y mínimos condicionados de determinadas funciones.

Posteriormente el matemático francés Jean Baptiste-Joseph
Fourier (1768-1830) fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que actualmente llamamos programación lineal y la potencialidad que de ellos se deriva.

Si exceptuamos al matemático Gaspar Monge (1746-1818), quien en 1776 se interesó por problemas de este género. Debemos remontarnos al año 1939 para encontrar nuevos estudios relacionados con los métodos de la actual programación lineal, en este año, el matemático ruso Leonodas Vitalyevich
Kantarovitch publica una extensa monografía titulada Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción en la que por primera vez se hace corresponder a una extensa gama de problemas una teoría matemática precisa y bien definida llamada, hoy en día, programación lineal.

En 1941-1942 se formula por primera vez el problema de transporte, estudiado independientemente por Koopmans y Kantarovitch, razón por la cual se suele conocer con el nombre de problema de Koopmans-Kantarovitch.

Tres años más tarde, G. Stigler plantea otro problema particular conocido con el nombre de régimen alimenticio óptima.

En estos años posteriores a la Segunda Guerra Mundial, en Estados Unidos se asumió que la eficaz coordinación de todas las energías y recursos de la nación era un problema de tal complejidad, que su resolución y simplificación pasaba necesariamente por los modelos de optimización que resuelve la programación lineal.

Paralelamente a los hechos descritos se desarrollan las técnicas de computación y los ordenadores, instrumentos que harían posible la resolución y simplificación de los problemas que se estaban gestando.

En 1947, G.B. Dantzig formula, en términos matemáticos muy precisos, el enunciado estándar al que cabe reducir todo problema de programación lineal. Dantzig, junto con una serie de investigadores del United States Departament of Air Force, formarían el grupo que dio en denominarse SCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs).

Una de las primeras aplicaciones de los estudios del grupo SCOOP fue el puente aéreo de Berlín. Se continuó con infinidad de aplicaciones en el área de la construcción, bancario y preferentemente militar.

Hacia 1950 se constituyen, fundamentalmente en Estados Unidos, distintos grupos de estudio para ir desarrollando las diferentes ramificaciones de la programación lineal. Cabe citar, entre otros, Rand Corporation, con Dantzig, Orchard-Hays, Ford, Fulkerson y Gale, el departamento de Matemáticas de la Universidad de Princenton, con Tucker y Kuhn, así como la Escuela Graduada de Administración Industrial, dependiente del Carnegie Institute of Technology, con Charnes y Cooper.

Respecto al método del símplex, que estudiaremos después, señalaremos que su estudio comenzó en el año 1951 y fue desarrollado por Dantzig en el United States Bureau of Standards SEAC COMPUTER, ayudándose de varios modelos de ordenador de la firma IBM.

Los fundamentos matemáticos de la programación lineal se deben al matemático norteamericano de origen húngaro Janos von Neuman (1903-1957), que en 1928 publicó su famoso trabajo Teoría de Juegos. En 1947 conjetura la equivalencia de los problemas de programación lineal y la teoría de matrices desarrollada en sus trabajos. La influencia de este respetado matemático, discípulo de David Hilbert en Gotinga y, desde 1930, catedrático de la Universidad de Princenton de Estados Unidos, hace que otros investigadores se interesaran paulatinamente por el desarrollo riguroso de esta disciplina.

En 1858 se aplicaron los métodos de la programación lineal a un problema concreto: el cálculo del plan óptimo de transporte de arena de construcción a las obras de edificación de la ciudad de Moscú. En este problema había 10 puntos de partida y 230 de llegada. El plan óptimo de transporte, calculado con el ordenador Strena en 10 días del mes de junio, rebajó un 11% los gastos respecto a los costos previstos.

Se ha estimado, de una manera general, que si un país subdesarrollado utilizase los métodos de la programación lineal, su producto interior bruto (PIB) aumentaría entre un 10 y un 15% en tan sólo un año.

 La programación lineal hace historia: el puente aéreo de Berlín

En 1946 comienza el largo período de la guerra fría entre la antigua Unión Soviética (URSS) y las potencias aliadas (principalmente, Inglaterra y Estados Unidos). Uno de los episodios más llamativos de esa guerra fría se produjo a mediados de 1948, cuando la URSS bloqueó las comunicaciones terrestres desde las zonas alemanas en poder de los aliados con la ciudad de Berlín, iniciando el bloqueo de Berlín. A los aliados se les plantearon dos posibilidades: o romper el bloqueo terrestre por la fuerza, o llegar a Berlín por el aire. Se adoptó la decisión de programar una demostración técnica del poder aéreo norteamericano; a tal efecto, se organizó un gigantesco puente aéreo para abastecer la ciudad: en diciembre de 1948 se estaban transportando 4500 toneladas diarias; en marzo de 1949, se llegó a las 8000 toneladas, tanto como se transportaba por carretera y ferrocarril antes del corte de las comunicaciones. En la planificación de los suministros se utilizó la programación lineal. (El 12 de mayo de 1949, los soviéticos levantaron el bloqueo).

Como muchos adelantos e investigaciones que favorecen al ser humano empiezas ser utilizado para propósitos bélicos para luego ser utilizados en la parte civil. Las investigaciones de operaciones no es la excepción ya que sus primeras actividades formales de la investigación de operaciones se dio en dio en Inglaterra durante la 2da Guerra Mundial en la cual se encomendó a un equipo de científicos ingleses la toma de decisiones acerca de la mejor utilización de materiales bélicos, al terminar la Guerra, las ideas, investigaciones realizadas para operaciones militares fueron adoptadas y/o modificadas para mejorar la eficiencia y la productividad en el sector civil. Con el transcurso del tiempo se convirtió en una herramienta dominante e indispensable para tomar decisiones.

Muchas personas clasifican el desarrollo de la investigación de operaciones con su técnica la programación lineal entre los avances científicos más importantes de mediados del siglo XX, su impacto desde 1950 ha sido extraordinario. En la actualidad es una herramienta de uso normal que ha ahorrado miles o millones de gastos innecesarios a muchas compañías o negocios, incluyendo empresas medianas en los distintos países industrializados del mundo; su aplicación a otros sectores como la construcción en la sociedad se está ampliando con rapidez. Una proporción muy grande de los cálculos científicos en computadoras está dedicada al uso de la programación lineal.

¿Qué es la Investigación de Operaciones?

Como toda disciplina en desarrollo, la investigación de operaciones ha ido evolucionando no sólo en sus técnicas y aplicaciones sino en la forma como la conceptualizan los diferentes autores, en la actualidad no existe solamente una definición sino muchas, algunas demasiado generales, otras demasiado engañosas, aquí seleccionamos una de las mas aceptadas y representativas.

La definición de la sociedad de investigación de operaciones de la Gran Bretaña es la siguiente:

La investigación de operaciones es el ataque de la ciencia moderna a los complejos problemas que surgen en la dirección y en la administración de grandes sistemas de hombres, máquinas, materiales y dinero, en la industria, en los negocios, en la construcción, en el gobierno y en la defensa. Su actitud diferencial consiste en desarrollar un modelo científico del sistema tal, que incorpore valoraciones de factores como el azar y el riesgo y mediante el cual se predigan y comparen los resultados de decisiones, estrategias o controles alternativos. Su propósito es el de ayudar a la gerencia a determinar científicamente sus políticas y acciones.

En relación a ésta definición deben destacarse los siguientes aspectos:   

Fases de un estudio de Investigación de Operaciones

Como herramienta de toma de decisiones, la investigación de operaciones es una ciencia y un arte, se dice que es una ciencia por las técnicas matemáticas que se presentan y un arte porque el éxito de todas las fases que anteceden y siguen a la resolución del modelo matemático dependen mucho de la creatividad y la experiencia del equipo de investigación de operaciones. Willemain (1994) insinúa que "la práctica efectiva (de la investigación de operaciones) requiere algo mas que la competencia analítica. También requiere, entre otros atributos, el juicio (por ejemplo, cuando y como usar determinada técnica) y la destreza técnica en comunicaciones y en duración organizacional".

Es dificultoso formular cursos concretos o específicos de acción (que se puedan parecer a los que se crea en la teoría de los modelos matemáticos) para los factores intangibles. Solo se puede brindar lineamientos generales para efectuar la investigación de operaciones en la práctica.

Las fases principales de la ejecución de la investigación de operaciones en la práctica son los siguientes:

De estas cinco fases, solo la de la solución del modelo, es la que esta mejor definida y es la mas fácil de implementar en un estudio de investigación de operaciones, por lo que maneja especialmente modelos matemáticos precisos, las demás fases es mas un arte que una teoría.


 

La definición del problema

Es uno de las fases mas importante que en muchos libros lo definen vagamente pero requiere de mucho cuidado al realizar esta fase o actividad, lo cual es el de realizar el estudio relevante del problema y desarrollar un resumen bien definido del problema que se va analizar y es una función que debe ser desarrollado por todo el equipo de investigación de operaciones lo cual se define el alcance del problema que se investiga. El resultado de ello es identificar tres elementos principales del problema de decisión, que son:

En resumen este proceso es crucial ya que afectara significativamente la relevancia de las conclusiones del estudio. Por que ¡Es difícil extraer aun respuesta "correcta" a partir de un problema "equivocado!". Puede ser que se tarde mucho tiempo recolectando los datos relevantes sobre el problema, lo cual se necesita muchos datos para lograr un entendimiento exacto sobre el problema como para proporcionar las herramientas necesarias para el modelo que se formulara o construirá en la siguiente etapa, como es común no se tendrá mucha información al principio, ya sea porque nunca se guardo la información o ya esta obsoleta o en forma errónea, por que se debe recolectar desde el principio, aun poniendo todo el esfuerzo el equipo de investigación de operaciones tendrá que trabajar con datos no muy confiables por el tiempo de la recolección antes mencionado, por lo cual terminara trabajando con lo datos que pueda obtener.

Como se ilustra en la figura 1.1 los niveles de abstracción que caracterizan el desarrollo de un modelo de investigación de operaciones. El mundo real supuesto se abstrae del caso real, concentrándolo en las variables principales que controlan el comportamiento del sistema real. El modelo, como es una abstracción del mundo real supuesto, refiere a una forma adecuada, las funciones matemáticas que representan el comportamiento del sistema supuesto.

Como se menciono antes, el definir o modelar un problema de una situación real se abstraer lo cual no se lleva a tener otras consideraciones, por lo que podemos dar un ejemplo: en una empresa existen otras consideraciones y responsabilidades sociales fuera de las ganancias se puede tomar dentro de un solo país, dentro de una empresa, se puede mencionar cinco partes que son afectadas que son: a) los dueños (accionistas, etc.), que desean obtener ganancias (dividendos, valuaciones de las acciones, etc.); b) los empleados, que desean un empleado seguro con un salario razonable; c) los clientes, que quieren un producto confiable a un precio justo; d) los vendedores, que piensan en la integridad y lo justo del precio de venta de los bienes que manejan; e) el gobierno, y por ende, la nación, que quiere el pago de impuestos justos y que se tome en cuenta el interés nacional. Las cinco partes hacen contribuciones esenciales a la empresa, y esta no debe servir a ninguna de estas partes para explotar a las otras. Entonces, aunque se acepte que obtener ganancias es el objetivo principal (que en última instancia, beneficia a las cinco partes), deberán también reconocerse esas responsabilidades sociales más extensas.

Aplicación: El Departamento de Salud de New Haven, Connecticut utilizó un equipo de Investigación de Operaciones para diseñar un programa efectivo de intercambio de agujas para combatir el contagio del virus que causa el SIDA (HIV), y tuvo éxito en la reducción del 33% de la tasa de infección entre los clientes del programa. La parte central de este estudio fue un innovador programa de recolección de datos para obtener los insumos necesarios para los modelos matemáticos de transmisión del SIDA. Este programa barco un rastreo completo de cada aguja (y cada jeringa), con la identificación, localización y fecha de cada persona que recibía una aguja y cada persona que la regresaba durante un intercambio, junto con la prueba de si la condición de la aguja era HIV - positivo o HIV - negativo.

La construcción del modelo

Es el de traducir la definición del problema a relaciones matemáticas llamado también modelización. Se sabe o se dice que los modelos matemáticos o representaciones idealizadas son una parte integrada de la vida diaria, en la ciencia y los negocios, como lo hacen patente los modelos del átomo y de estructura genéticas, las ecuaciones matemáticas que describen las leyes de física del movimiento o reacciones químicas, las graficas, los organigramas y los sistemas contables en la industria, esos modelos son invaluables ya que extraen la esencia de la materia de estudio, muestra sus interrelaciones y facilitan el análisis.

Si el modelo se puede ajustar a uno de los modelos matemáticos normales como puede ser la programación lineal, se puede emplear los algoritmos disponibles. Pero si las relaciones matemáticas son demasiadas complejas como para permitir el cálculo de una solución analítica puede ser que se opte por simplificar el modelo para usar un modelo heurístico y también puede recurrir al uso de simulación, si es aproximada, pero en algunos casos se deberá hacer una combinación de modelos matemáticos para resolver.

Aplicación: La Oficina responsable del control del agua y los servicios públicos del Gobierno de Holanda, concesionó un importante estudio de Investigación de Operaciones para guiarlo en el desarrollo de una importante política de administración del agua. La nueva política ahorro cientos de millones de dólares en gastos de inversión y redujo el daño agrícola en alrededor de 15 millones de dólares anuales, al mismo tiempo que disminuyo la contaminación térmica y debida a las algas. En lugar de formular un modelo matemático, este estudio de Investigación de Operaciones desarrolló un sistema integrado y comprensible de ¡50 modelos! Mas aún, para alguno de los modelos, se desarrollan versiones sencillas y complejas. El estudio completo de Investigación de Operaciones involucró directamente a mas de 125 personas - año de esfuerzo (mas de un tercio de ellas en la recolección de datos), creó varias docenas de programas de computación y estructuró una enorme cantidad de datos.

Solución del modelo matemático

La siguiente etapa de un estudio de investigación de operaciones es una de las más simples y sencillas, que consiste en desarrollar un procedimiento para obtener una solución al problema a partir de este modelo matemático. Se puede suponerse o pensarse que esto debe ser la parte más importante o principal del estudio de investigación de operaciones, pero en la mayoría de los casos no lo es, por lo contrario es una parte relativamente sencilla donde solo se aplica uno de los algoritmos (procedimientos iterativos de una solución). Las soluciones que se obtienen de estos modelos no son de forma cerradas, es decir, parecidas a formulas. En lugar de ello, se determina en forma de algoritmo, este algoritmo proporciona reglas fijas de cómputos que son aplicadas en forma repetitiva al problema y cada repetición es llamada iteración, lo cual obtiene cada vez en forma mas cercana a la óptima, ya que los cálculos que son asociados o utilizados en cada iteración son tediosos y voluminosos se recurre al uso de paquetes computacionales.

Un tema común en investigación de operaciones es la búsqueda de una solución óptima, es decir la mejor, pero se debe saber que estas soluciones óptimas son solo respecto al modelo que se esta utilizando. Como el modelo matemático es una idealización y no una representación del problema real, esto no garantiza de que la solución óptima del modelo resulte la mejor solución posible que se pueda llevar a la práctica para el problema real, ya que se debe tomar en cuenta las muchas imponderables e incertidumbres que están asociadas a los problemas reales, pero si el modelo matemático esta bien formulado y verificado, la solución resulta ser una buena aproximación.

En la práctica es mucho mas frecuente utilizar el concepto satisfizar (es una combinación de satisfacer y optimizar) que optimizar. La distinción entre optimizar y satisfizar refleja la diferencia entre la teoría y la realidad, diferencia que con frecuencia se encuentra al tratar de implementar esa teoría en la práctica. Según Samuel Eilon "optimizar es la ciencia de lo absoluto; satisfizar es el arte de lo factible".

La meta de un estudio de investigación de operaciones debe ser el llevar a cabo el estudio de manera óptima, de manera independiente si esto implica el encontrar o no la solución óptima para el modelo.

Hasta el momento ha quedado implícito que un estudio de investigación de operaciones busca solo una solución, que puede o no requerirse que sea óptima. Una solución óptima para el modelo original puede ser mucho menos que ideal para el problema real, de tal forma que es necesario hacer un análisis adicional, este análisis es llamado análisis pos-óptimo (análisis que se lleva a cabo después de encontrar una solución óptima) el cual es una parte muy importante de la mayoría de los estudio de Investigación de Operaciones.

En cierto modo el análisis de pos-óptimo es el llevar a cabo un análisis de sensibilidad, el cual es determinar unos parámetros del modelo que son críticos o "sensibles" al determinar la solución.

Una definición que se puede dar de parámetros sensibles es: Para un modelo matemático con valores específicos para todos sus parámetros, los parámetros sensibles del modelo son aquellos cuyos valores no se pueden cambiar sin que la solución óptima cambie. Estos parámetros son estimaciones de alguna cantidad (por ejemplo, ganancia unitaria) cuyo valor exacto se conocerá solo después de poner en práctica la solución. Existe alguna flexibilidad sobre los valores asignados a estos parámetros, talvez puedan algunos puedan aumentar si otros disminuyen. El análisis pos-óptimo incluye la investigación de estos trueques.

La técnica mas importante de investigación de operaciones es la programación lineal, lo cual consiste en diseñar los modelos matemáticos con funciones objetivos y restricciones estrictamente lineales. La programación lineal utiliza un modelo matemático para describir el problema. El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deber ser funciones lineales. En este caso, las palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo matemático) entre todas las alternativas de solución.

Cuando algunos modelos matemáticos son tan complicados que es imposible resolverlos con cualquiera de los algoritmos para su optimización. En este caso será necesario abandonar la búsqueda de la solución óptima para solo buscar y encontrar una solución buena, para lo cual se utiliza heurísticas o reglas simples.

La validación del modelo

Es una comprobación si el modelo matemático propuesto hace lo que debe hacer, lo cual se puede hace una pregunta. ¿Pronostica el modelo en forma adecuada el comportamiento del sistema que se estudia?, y si el modelo se basa en una investigación cuidadosa de datos históricos, la validación debería ser favorable.

Es probable de que las primeras versiones de un modelo matemático grande tengan sus fallas. Sin duda algunos factores o interrelaciones revelantes no se agregaron al modelo y algunos parámetros no se estimaron correctamente. Esto puede ser a causa de la falta o la dificultad de comunicación de todos los aspectos y sutilezas de un problema operacional complejo, así como la dificultad de recolección de datos. Por lo que antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para intentar identificar y corregir todas las fallas que se pueda. Aunque sin duda quedaran algunos problemas menores ocultos en el modelo (y quizás nunca se detecten), las fallas importantes se habrán eliminado de manera que ahora es confiable usar el modelo.

Es difícil describir como se lleva a cabo la validación del modelo por que el proceso depende en gran parte del problema bajo estudio y del modelo usado, pero se puede hacer algunos comentarios generales.

Debido a que el equipo de investigación de operaciones pasara mucho tiempo desarrollando todas las piezas detalladas del modelo, es sencillo "no ver el bosque por buscar los árboles". Entonces después de completar los detalles ("los árboles") de la versión inicial del modelo, una buena manera de comenzar las pruebas es observarlo en forma general (el bosque) para verificar los errores u omisiones obvias.

También es útil asegurarse de que todas las expresiones matemáticas sean consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean. Además, pueden obtenerse un mejor conocimiento de la validez del modelo variando los valores de los parámetros de entrada y/o de las variables de decisión y comprobando que los resultados del modelo se comporten de una manera factible. Esto es especialmente revelador cuando se asignan a los parámetros o a las variables valores extremos cercanos a su máximo o su mínimo.

Un enfoque más sistemático para la prueba del modelo matemático es emplear una prueba retrospectiva. Cuando es aplicable, esta prueba utiliza datos históricos y reconstruye el pasado para determinar si el modelo y la solución resultante hubieran tenido un buen desempeño hipotético con lo que en realidad ocurrió, indica si el uso del modelo tiende a dar mejoras significativas sobre la práctica actual. Puede también indicar áreas en las que el modelo tiene fallas y requiere modificaciones. Lo que es mas, al emplear las alternativas de solución y estimar sus desempeños históricos hipotéticos, se pueden reunir evidencias en cuanto a lo bien que el modelo predice los efectos relativos de los diferentes cursos de acción.

Por otra parte, la prueba retrospectiva tiene la desventaja de que usa los mismos datos que sirvieron para formular el modelo. Entonces surge la pregunta crítica; es si el pasado en realidad representa el futuro. Si no es así, el modelo puede tener un desempeño distinto en el futuro del que hubiera tenido en el pasado.

Para salvar esta desventaja de la prueba retrospectiva. A veces es útil continuar con las cosas como están por una temporada. Esto proporcionara datos con los que no se contaban cuando se construyó el modelo. Estos datos se pueden emplear de la manera que se describió para evaluar un modelo.

Es importante documentar el proceso usado para las pruebas de la validación del modelo. Esto ayuda a aumentar la confianza en el de los usuarios subsecuentes. Más aun, si en el futuro surgen preocupaciones sobre el modelo, esta documentación ayudara a diagnosticar en donde pueden estar los problemas.

Aplicación: En un estudio de I.O. para IBM se realizo con el fin de integrar su red nacional de inventarios de refacciones para mejorar el servicio a los clientes, al mismo tiempo que reducir el valor de los inventarios de IBM en mas de 250 millones de dólares y ahorrar otros 20 millones de dólares anuales a través del mejoramiento de la eficiencia operacional. Un aspecto en particular interesante de la etapa de validación del modelo en este estudio fue la manera en que se incorporaron el proceso de prueba los usuarios futuros del sistema de inventarios. Debido a que estos usuarios futuros (los administradores de IBM en las áreas funcionales responsables de la implantación del sistema de inventarios) dudaban del sistema que se estaba desarrollando, se asignaron representantes a un equipo de usuarios que tendría la función de asesorar al equipo de I.O. Una vez desarrollada la versión preliminar del nuevo sistema (basada en el sistema de inventarios de multiniveles) se lleva acabo una prueba preliminar de implantación.

La extensa retroalimentación por parte del equipo de usuarios llevo a mejoras importantes en el sistema propuesto.

La implementación del modelo matemático

¿Qué es lo que pasa después de terminar la etapa de pruebas y desarrollar un modelo aceptable?; si el modelo ha de usarse varias veces, el siguiente paso es instalar un sistema bien documentado para aplicar el modelo según lo establecido por la administración. Este sistema incluirá el modelo y el procedimiento de solución (además del análisis pos-óptimo) y los procedimientos para su implementación. Por que la implementación se trata de efectuar instrucciones de operaciones a partir de la solución y de los resultados del modelo, estas instrucciones de operaciones deben ser en forma comprensibles para las personas que administraran el sistema recomendado.

Una vez desarrollado un sistema para aplicar un modelo, la última etapa de un estudio de investigación de operaciones es implementarlo siguiendo lo establecido por la administración. Esta etapa es crítica, ya que es aquí y solo aquí, donde se cosecharan los beneficios del estudio, es importante que el equipo de investigación de operaciones participe, tanto para asegurar que las soluciones del modelo se traduzcan con exactitud a un procedimiento operativo.

La etapa de implementación incluye varios pasos. Primero, el equipo de investigación de operaciones da una cuidadosa explicación a la gerencia operativa sobre el nuevo sistema que se va adoptar y su relación con la realidad operativa. Luego estos dos grupos comparten la responsabilidad de desarrollar los procedimientos requeridos para poner este sistema en operación.

A la culminación del estudio, es apropiado que el equipo de investigación de operaciones documente su metodología con la suficientemente claridad y detalle para que el trabajo sea reproducible.

Aplicación: Este último punto sobre la documentación de un estudio Investigación de Operaciones se ilustra con el caso de la política nacional de administración del agua de Rijkswaterstatt en Holanda. La administración deseaba documentación más extensa que lo normal, tanto para apoyar la nueva política como para utilizarla en la capacitación de nuevos analistas o al realizar nuevos estudios. Completar esta documentación requirió varios años y ¡quedo contenida en 4000 páginas a espacio sencillo encuadernadas en 21 volúmenes!

Modelos matemáticos de Investigación de Operaciones

    Se debe considerar que en el caso de un problema de toma de decisiones donde requiere un modelo matemático, cuya solución requiere identificar tres componentes.

El primer paso crucial de cualquiera de los modelo es la definición de las alternativas o las variables de decisión del problema. Lo cual se utilizan estas variables de decisión para construir la función objetivo y las restricciones del modelo. Una vez terminado con estos tres pasos en el modelo de investigación de operaciones se organizar generalmente de la siguiente forma general:


 


 


 

Cuando una solución de un modelo planteado satisface todas las restricciones es una solución factible, y cuando además de ser factible produce el mejor valor (máximo o mínimo) de la función objetivo se le llama solución óptima. Fuera de que los modelos investigación de operaciones deben "optimizar" determinado criterio objetivo sujeto a un conjunto de restricciones, la calidad de la solución que se obtenga depende de la exactitud del modelo para representar el sistema real. Lo cual concluimos es que "la" solución óptima de un modelo solo es la mejor para "ese" problema. Por lo cual inferimos que si el modelo representa al sistema real en forma razonablemente buena, su solución también será óptima.

Impacto de la Investigación de Operaciones

La investigación de operaciones ha tenido un impacto impresionante en el mejoramiento de la eficiencia de numerosas organizaciones en todo el mundo. En el proceso, la investigación de operaciones ha hecho contribuciones significativas al incremento de la productividad dentro de la economía de varios países. Hay ahora más de 30 países que son miembros de la International Federation of Operational Research Societies (IFORS), en la que cada país cuenta con una sociedad de investigación de operaciones.

Sin duda, el impacto de la investigación de operaciones continuará aumentando. Por ejemplo, al inicio de la década de los 90, el U.S. Bureau of Labor Statistics predijo que la investigación de operaciones sería el área profesional clasificada como la tercera de más rápido crecimiento para los estudiantes universitarios en Estados Unidos, graduados entre 1990 y 2005. Pronosticó también que, para el año 2005, habría 100 000 personas trabajando como analistas de investigación de operaciones.

Riesgo al aplicar la Investigación de Operaciones

Al aplicar la Investigación de Operaciones al estudio de sistemas y a la resolución de problemas se corre el riesgo de tratar de manipular los problemas para buscar que se ajusten a las diferentes técnicas, modelos de algoritmos establecidos en lugar de analizar los problemas y buscar resolverlos obteniendo las soluciones mejores, utilizando los métodos apropiados, es decir resolver el problema utilizando los métodos que proporcionan las mejoras soluciones y no buscar ajustar el problema a un método específico.

Para llegar a hacer un uso apropiado de la I de O, es necesario primero comprender la metodología para resolver los problemas, así como los fundamentos de las técnicas de solución para de esta forma saber cuándo utilizarlas o no en las diferentes circunstancias.

Tipos de modelos de Investigación de Operaciones.

En la siguiente tabla se muestran los modelos de decisión según su clase de incertidumbre y su uso en las corporaciones. (D, determinista; P, probabilista; A, alto; B, bajo)

Tipo de Modelo

Clase de Incertidumbre

Frecuencia de uso en corporaciones

Programación Lineal

D

A

Redes (Incluye PERT/CPM)

D, P

A

Inventarios, producción y programación

D, P

A

Econometría, pronóstico y simulación

D, P

A

Programación Entera

D

B

Programación Dinámica

D, P

B

Programación Estocástica

P

B

Programación No Lineal

D

B

Teoría de Juegos

P

B

Control Óptimo

D, P

B

Líneas de Espera

P

B

Ecuaciones Diferenciales

D

B

* En la anterior tabla se muestran con letras en negrillas y cursivas los tipos que se utilizaran en el curso de sistemas de ingeniería

A continuación se dará una pequeña explicación de los modelos matemáticos que se utilizaran en este curso.

Programación Lineal

Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden resolver la situación siguiente:

Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, función lineal de varias variables, sujeta a: una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales.    

Pudiendo cambiarse maximizar por minimizar, y el sentido de las desigualdades.

En un problema de programación lineal intervienen:

Optimización de redes es un tipo especial de modelo en programación lineal. Los modelos de redes tienen tres ventajas importantes con respecto a la programación lineal.

Obviamente los modelos de redes no son capaces de cubrir la amplia gama de problemas que puede resolver la programación lineal. Sin embargo, ellos ocurren con suficiente frecuencia como para ser considerados como una herramienta importante para una real toma de decisiones.

Los modelos de redes se pueden usar para ayudar a la planificación de proyectos complejos los que involucran  muchas actividades. Si la duración de cada actividad se conoce con certeza, se puede usar el método del camino crítico (CPM) para determinar el tiempo requerido para realizar el proyecto. CPM se puede usar también para determinar en cuánto se puede atrasar una actividad sin que esto retrase el término del proyecto. CPM fue desarrollado en los años ´50 por Du Pont y Sperry Rand.

Si la duración de las actividades no se conoce con certeza, se puede usar la técnica PERT (Técnica de Evaluación y Revisión de Proyectos) para estimar la probabilidad que el proyecto se termine en una fecha determinada. CPM y PERT han sido exitosamente utilizado en muchas aplicaciones como:

La teoría de las colas es el estudio matemático de las colas o líneas de espera. La formación de colas es, por supuesto, un fenómeno común que ocurre siempre que la demanda efectiva de un servicio excede a la oferta efectiva.

Con frecuencia, las empresas  deben tomar decisiones respecto al caudal de servicios que debe estar preparada para ofrecer. Sin embargo, muchas veces es imposible predecir con exactitud cuándo llegarán los clientes que demandan el servicio y/o cuanto tiempo será necesario para dar ese servicio; es por eso que esas decisiones implican dilemas que hay que resolver con información escasa. Estar preparados para ofrecer todo servicio que se nos solicite en cualquier momento, puede implicar mantener recursos ociosos y costos excesivos. Pero, por otro lado, carecer de la capacidad de servicio suficiente causa colas excesivamente largas en ciertos momentos. Cuando los clientes tienen que esperar en una cola para recibir nuestros servicios, están pagando un costo, en tiempo, más alto del que esperaban. Las líneas de espera largas también son costosas por tanto para la empresa ya que producen pérdida de prestigio y pérdida de clientes.

La teoría de las colas en si no resuelve directamente el problema, pero contribuye con la información vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes prediciendo algunas características sobre la línea de espera: probabilidad de que se formen, el tiempo de espera promedio.

Modelo de hoja de cálculo electrónica


La hoja de cálculo electrónica facilita hacer y contestar preguntas de "que si" en un problema real. Hasta ese grado la hoja de cálculo electrónica tiene una representación selectiva del problema y desde este punto de vista la hoja de cálculo electrónica es un modelo.

En realidad es una herramienta más que un procedimiento de solución.

Conclusiones

Aunque el resto del siguiente texto nos aboquemos primordialmente a la construcción y solución de los modelos matemáticos a través de la programación lineal, modelos de redes (incluyendo PERT/CPM) y la teoría de colas.

En este capitulo se trato de hacer hincapié en que esto eso solo una porción del proceso completo que se necesita para llevar a cabo a un estudio de investigación de operaciones representativo. Las otras etapas que se describieron también son importantes para el éxito o fracaso del estudio. Lo cual se pide al estudiante que no pierda de vista en los siguientes capítulos; el papel que juega el modelo y el procedimiento de solución dentro del proceso completo.

También se concluye que por el hecho de los modelos matemáticos, la investigación de operaciones esta muy estrechamente ligado al uso de las computadoras. Hasta hace poco, se habían utilizado casi exclusivamente computadoras grandes, pero cada vez es mayor el uso de microcomputadoras y estaciones de trabajo.

INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Rating: 4.5 Diposkan Oleh: Ing. Civil

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