Grado de indeterminación y Grado de libertad

Las estructuras, en cuanto concierne a su comportamiento estático, pueden clasificarse como estables e inestables. Las estructuras estables son aquellas capaces de soportar un sistema general de cargas cuyos valores tienen un límite de manera que no ocurra la falla por deformación excesiva. Las estructuras inestables por el contrario, no pueden sostener cargas a menos que estas sean de una naturaleza especial.
Las estructuras estables pueden ser estáticamente determinadas o estáticamente indeterminadas también denominadas estructuras hiperestáticas, dependiendo de si las ecuaciones de equilibrio son por si solas suficientes para determinar tanto las reacciones como las fuerzas internas. Si son suficientes, la estructura se clasifica simplemente como determinada; de lo contrario como indeterminada, la cual puede ser también externamente e internamente indeterminada. Si el número de las componentes de las reacciones es mayor que el número de ecuaciones independientes de equilibrio, se dice que la estructura es externamente indeterminada. Sin embargo, si algunas fuerzas internas del sistema no pueden determinarse por estática a pesar de que todas las reacciones sean conocidas, entonces la estructura se clasifica como internamente indeterminada. En cualquiera de los casos, su análisis depende de las propiedades físicas y geométricas, es decir, momentos de inercia, área y módulo de elasticidad de sus elementos.
La indeterminación implica restricciones o elementos adicionales a los mínimos requeridos para la estabilidad estática del sistema. A estas cantidades en exceso (reacciones o fuerzas internas en los elementos) se las denomina como redundantes, y su número representa el grado de indeterminación de la estructura. Consideremos por ejemplo, Las estructuras mostradas en las figuras 1.2-1, 1.2-2, 1.2-3, 1.2-4 y 1.2-5.
La estructura mostrada en la figura 1.2-1 es obviamente inestable debido a la falta de sujeción para prevenir el movimiento, mientras que en la figura 1.2-2 aunque exista un número adecuado de restricciones en los soportes su arreglo o distribución puede ser de tal forma que no pueda resistir el movimiento provocado por una carga arbitrariamente aplicada.

Figura 1.2-1 Estructura inestable debido a la carencia de soporte
Figura 1.2-2 Estructura inestable debido a la disposición de los apoyos
Figura 1.2-3 Estructura estable
Figura 1.2-4 Estructura externamente indeterminada
Figura 1.2-5 Estructura internamente indeterminada
En lo que a estática se refiere (independientemente de la resistencia), la estructura mostrada en la figura 1.2-3 es suficientemente estable para soportar cualquier sistema de cargas. La de la figura 1.2-4 es externamente indeterminada de primer grado, mientras la de la figura 1.2-5 es internamente indeterminada de segundo grado. Fuera de la economía y la seguridad hay muchas razones para diseñar una estructura indeterminada en lugar de una determinada. Sin embargo, este asunto está fuera del tema.
El grado de libertad, por otra parte, se define como el número total de desplazamientos desconocidos en los nudos de la estructura. Como máximo un nudo pude tener seis desplazamientos desconocidos, tres rotacionales y tres lineales en los marcos rígidos tridimensionales; dos rotacionales y uno lineal en los reticulados o entramados; dos lineales y uno rotacional en los sistemas rígidos planos; dos y tres lineales en cerchas bi y tridimensionales. El grado de libertad puede determinarse, entonces, contando únicamente los desplazamientos desconocidos en los nudos.
En la mayoría de los casos, el grado de libertad y el grado de indeterminación están relacionados entre sí cuando disminuye el uno aumenta el otro y viceversa. Sin embargo, si se cambia el grado de indeterminación del sistema añadiendo o suprimiendo algunos elementos no necesariamente se altera su grado de libertad. Por ejemplo, la armadura de la figura 1.2-5 tiene dos barras adicionales comparada con la determinada en la figura 1.2-3, no obstante el grado de libertad de ambos sistemas es 13.
En resumen, el grado de indeterminación de una estructura es el número de componentes de las reacciones y fuerzas internas desconocidas que sobrepasan al número de ecuaciones de condición para el equilibrio estático. El grado de libertad es el número total de componentes de las deflexiones desconocidas de los nudos libres. Aunque estas dos cantidades se usan algunas veces para seleccionar el método matricial más adecuado para el análisis de una estructura dada, ninguno de los métodos matriciales hace discusión entre las estructuras determinadas e indeterminadas. Estos dos conceptos están involucrados en los métodos de tal modo que ni el Método de Flexibilidad ni el de
Rigidez alteran su curso o se modifican porque la estructura sea o no determinada. El grado de indeterminación o el grado de libertad determinan, respectivamente, el orden en que deben ser invertidas las matrices de flexibilidad y de rigidez. Considerando que la mayor parte del tiempo de análisis se gasta en la inversión (o solución) de estas matrices, el grado de libertad o de indeterminación puede usarse como un factor para la selección del Método de Análisis; fuera de lo cual no sirven para otro propósito.
Luego de que se ha hecho la selección (la cual se hace frecuentemente por muchas razones diferentes a las que acabamos de discutir), ambos métodos siguen su desarrollo, aunque una estructura determinada se comporte de manera diferente bajo circunstancias idénticas a una indeterminada. Por ejemplo, las variaciones de temperatura producen fuerzas internas en el sistema indeterminado pero no en el determinado.
En los métodos no matriciales, el concepto de indeterminación desempeña un papel muy importante.