EL PROBLEMA DE LA REDUCCIÓN.

Conocimientos Generales.

En la geodesia superior, el problema de reducción se ha acordado entender el concepto como: el conjunto de problemas debidos al traslado de las magnitudes directamente medidas sobre la superficie de la Tierra a sus correspondientes valores sobre la superficie de referencia: habitualmente a la superficie del elipsoide de referencia adoptado.

En casos particulares puede sugerir también el problema inverso: el traslado de las magnitudes conocidas desde la superficie de referencia a cualquier otra superficie y en particular, a la terrestre.

En esencia, si son conocidos los datos iniciales necesarios, no hay diferencia entre el problema directo y el inverso.

La reducción de las mediciones directas en la superficie del elipsoide, es necesaria para tener la posibilidad de realizar la elaboración matemática conjunta de los resultados de las mediciones, aprovechando las propiedades y dependencias geométricas existentes entre los elementos de la superficie del elipsoide. Este procesamiento matemático incluye: cálculos niveladores con el fin de obtener los valores más probable de las magnitudes niveladas; resolución de problemas matemáticos de distinto termino para determinar la función de los valores prácticamente necesarios, medidas directamente. Como ejemplo de tales problemas pueden servir: las soluciones de triángulos esféricos y esferoidales; el cálculo de áreas, de las coordenadas geodésicas de punto, etc.

Esta acordado que la superficie a la cual deben reducirse las mediciones directas es conocida, es decir, ha sido determinada de antemano: y que también ha sido determinada la ubicación de esta superficie en el cuerpo de la Tierra. Matemáticamente no tiene importancia que superficie es, o si se habla de elipsoide, y cuáles de sus medidas han sido tomadas en calidad de superficie de referencia; pero en la práctica es importante que la superficie de referencia posea la menor desviación con respecto a la figura real de la Tierra y sea en lo posible paralela a la superficie de nivel de esta figura. En tal caso las magnitudes calculadas sobre la superficie de referencia se diferenciaran poco de sus valores sobre la superficie terrestre. Las reducciones serán menores (en su valor numérico) si las desviaciones entre ambas superficies son pequeñas. Esto es muy importante puesto que en presencia de pequeñas reducciones simplifica la deducción de las formulas; se hacen más fácil la elaboración de los cálculos prácticos; además se puede determinar con menor exactitud los argumentos iniciales para el cálculo de las reducciones.

También se puede señalar, que el proceso de reducción de las cantidades medidas directamente sobre la superficie del elipsoide es un método de la simplificación de los cálculos, que permite disminuir el argumento independiente de tres (λ, ϕ, H) a los dos (λ, ϕ). Se puede elaborar una teoría para el cálculo de las redes geodésicas, expresando la situación de cada punto en función de las tres coordenadas (λ, ϕ y H) o de las coordenadas rectangulares especiales (X, Y, Z).

Entonces desaparecería la necesidad de resolver la mayoría de los problemas de reducción; pero con esto los cálculos de nivelación y la solución de diferentes problemas geodésicos de cómputo se dificultarían sustancialmente. Por esta razón, es más sencillo y cómodo efectuar la reducción de las magnitudes medidas sobre la superficie del elipsoide y realizar la subsiguiente elaboración matemática de los resultados de las mediciones hecha sobre dicha superficie, especialmente cuando, en relación con el radio de la Tierra, son pequeñas las magnitudes de la altura geodésica H.

A la solución de las tareas de reducción, que en conjunto conforman el problema de la reducción, se le presentan algunas exigencias generales. Estas surgen de las condiciones para la conversión en las magnitudes directas. Por lo tanto, los errores de las reducciones y su influencia deben ser de cinco a diez veces menores que los errores de las mismas mediciones.

Para esto es imposible conocer con suficiente exactitud las magnitudes que caracterizan las desviación de la figura real de la Tierra con respecto a la superficie de referencia tomada, es decir, los argumento para el cálculo de las reducciones correspondiente: la altura de los puntos en la superficie terrestre; la inclinación de la línea vertical; las anomalías de la fuerza de gravedad.

Estas cantidades deben determinarse solamente en base a resultados de las mediciones y no partir de cualquier otro dato hipotético. Sin esta condición los problemas de reducción correspondientes no pueden resolverse exactamente. El cumplimiento de dicha condición representa un serio problema. Hasta antes de las investigaciones de Molodiensky no se poseía un método riguroso para la determinación de las magnitudes señaladas. Los métodos que existían antes o bien eran prácticamente irrealizables o bien se basaban en la utilización de datos acerca de la densidad o la estructura de la Tierra, los cuales hasta el presente no son conocidos con la fiabilidad requerida. Y ahora con motivo de la determinación de esta u otras magnitudes se puede concluir sobre la necesidad de elevar la exactitud, pero esto no es consecuencia de una elaboración teórica insuficiente, sino que el resultado de que las mediciones sobre la Tierra no se han concluido o han sido deficientemente realizadas, (por ejemplo, el levantamiento gravimétrico de la Tierra no ha sido concluido, las redes geodésicas de distinto continentes no están enlazadas, es poca la necesidad de los levantamientos gravimétricos en las regiones montañosas, etc.).

Los fundamentos anteriormente dados de la teoría y las fórmulas que determinan las magnitudes iniciales, son indispensables para calcular correctamente la reducciones.

Por esto se considera que las magnitudes iniciales para la reducción son conocidas con la exactitud requerida.

Durante la obtención de las fórmulas para el cálculo de la reducción es necesario dotarlas de una exactitud, que debe corresponder de la exactitud de las mediciones directas. Además los errores en los valores de la reducciones, causado por la inexactitud de las formulas deben ser despreciable en comparación con los errores de las mediciones. Para esto es importante considerar también el carácter (sistemático o casual) de la influencia de los errores de las reducciones en los elementos de reducción de la red geodésica.

Si la influencia de las reducciones, es despreciablemente pequeña para la reducción unitaria de una magnitud cualquiera, se introduce una deformación sistemática en la red geodésica en su conjunto, entonces la resolución del cálculo de las reducciones del tipo dado debe ser hecha considerando esta situación. Por ejemplo, la corrección a la dirección por la altura del punto de observación para una dirección alejada por lo común es despreciablemente pequeña pero, para una línea geodésica, en la cual los lados poseen aproximadamente los mismos azimutes, esta reducción tendrá un signo. Por esta razón despreciar estas reducciones será equivalente a la acción de un error sistemático, y la influencia del mismo puede ser notable. Por esto la reducción señalada casi siempre debe tenerse en cuenta de una triangulación de primera clase.

Existen dos métodos para reducir el resultado de las mediciones directa a la superficie del elipsoide de referencia: método de proyección y método de desarrollo.

Conforme al método de proyección la magnitud medida directamente se reduce matemáticamente con exactitud de la superficie de la Tierra a la superficie del elipsoide. Las reducciones por el traslado de las magnitudes medidas directamente a su proyección se calcula mediante formula que expresa las correcciones señaladas en función de las magnitudes, que determinan la posición mutua de la superficie terrestre y del elipsoide de referencia, es decir, las alturas geodésicas y la desviaciones es las líneas verticales.

Las longitudes de las bases medidas se proyectan a la superficie del elipsoide de referencia mediante las normales al elipsoide. En las direcciones medidas se introducen correcciones por las desviaciones de las líneas verticales con respecto a las normales al elipsoide. Al calcular la corrección se toma como altura del punto observador la distancia desde el objeto de colimación hasta la superficie del elipsoide según la normal a este último.

En el método de desarrollo las magnitudes medidas directamente se reducen a la superficie del geoide. En estos casos las reducciones se calculan en función de las magnitudes que determinan la posición reciproca de la superficie terrestre y del geoide. Así, por ejemplo, durante la reducción de las longitudes de las bases medidas se introducen correcciones por las alturas medidas desde el nivel del mar, es decir, desde el geoide, además, la reducción se efectúa a lo largo de las normales a este último ósea con la ayuda de las líneas verticales. En los ángulos medidos no se introducen corrección alguna.

Las magnitudes geodésicas reducidas a la superficie del geoide se consideran como si fuesen reducidas a la superficie del elipsoide de referencia: dicho de otra manera, en el método de desarrollo se desprecian las no coincidencias del geoide con el elipsoide de referencia. Las investigaciones muestran que el alejamiento del geoide aun desde el mejor elipsoide de referencia elegido puede alcanzar 150 [m]. De aquí fácilmente se puede deducir, que no se debe despreciar la no coincidencia del geoide y el elipsoide de referencia.

El método geométrico de desarrollo se puede representar así: como si las magnitudes reducidas a la superficie del geoide se tendieran, se ensancharan, se desplegaran o desarrollaran sobre otra superficie: la del elipsoide de donde surgen el nombre del método.

La comparación de ambos métodos de reducción permite hacer las siguientes observaciones generales.

1.‐ El método de proyección es el método de traslación rigurosa de las magnitudes geodésicas medidas a sus proyecciones sobre la superficie del elipsoide de referencia, que conservan la ubicación reciproca de los puntos de la superficie terrestre y hacen posible elaborar rigurosamente una red geodésica de cualquier extensión. Para emplear este método es indispensable establecer previamente las dimensiones del elipsoide de referencia y su orientación en el cuerpo de la Tierra.

Además, no se requiere emplear el mejor elipsoide de referencia establecido. En principio el método brinda la posibilidad de una elaboración matemática rigurosa para desviaciones significativas del elipsoide de referencia con respecto al elipsoide más conveniente, pero a partir de las consideraciones prácticas que se señaló al comienzo del presente parágrafo, es indispensable que el elipsoide de referencia sea lo suficientemente cercano al elipsoide más conveniente.

2.‐ El método de desarrollo no es riguroso; su empleo introduce distorsiones (de carácter sistemático) de los elementos de las redes astrónomo‐geodésicas durante su elaboración, provocadas por lo aproximado de los resultados de la resolución de los problemas de reducción.

La magnitud de estas distorsiones depende de la dimensión de la red astrónomogeodésica y los errores del parámetro del elipsoide de referencia adoptados durante los cálculos. Para obtener resultados lo más exactos posibles en la elaboración de los materiales de la red astrónomo‐geodésica con el método de desarrollo, es indispensable que el elipsoide de referencia sea el que mejor le convenga al geoide dentro de los límites de la red astrónomo‐geodésica. Sin embargo también en este caso las distorsiones se reducen pero no desaparecen, puesto que permanece la influencia de las no coincidencias del geoide con dicho elipsoide. De esta manera, para la elaboración matemática completa y exacta de vastas redes astrónomogeodésicas el método de desarrollo no resulta conveniente.

Una reducción exacta de las magnitudes medidas a la superficie del geoide, requiere el conocimiento de las densidades de la Tierra por fuera del geoide; estos datos son desconocidos, por esta razón, hablando con rigor, es imposible una reducción exacta del geoide.

Además, los errores surgidos como consecuencia de lo aproximado de la resolución de este problema será incomparablemente menores que las distorsiones condicionadas por la rigurosidad del método de desarrollo.

De lo expuesto se desprende que para la elaboración de las redes astrónomogeodésicas se debe emplear el método de proyección.